Question

12．阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
材料1：将分式$\frac{{x}^{2}-x+3}{x+1}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：$\frac{{x}^{2}-x+3}{x+1}$=$\frac{x（x+1）-2（x+1）+5}{x+1}$=$\frac{x（x+1）}{x+1}$-$\frac{2（x+1）}{x+1}$+$\frac{5}{x+1}$=x-2+$\frac{5}{x+1}$
这样，分式$\frac{{x}^{2}-x+3}{x+1}$就拆分成一个整式x-2与一个分式$\frac{5}{x+1}$的和的形式．
材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数100x+10y+x，且1≤x≤4，求y与x的函数关系式．
解：∵$\frac{101x+10y}{11}$=$\frac{99x+11y+2x-y}{11}$=9x+y+$\frac{2x-y}{11}$，
又∵1≤x≤4，0≤y≤9，∴-7≤2x-y≤8，还要使$\frac{2x-y}{11}$为整数，
∴2x-y=0，即y=2x．
（1）将分式$\frac{{x}^{2}+6x-3}{x-1}$拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为x+7+$\frac{4}{x-1}$；
（2）已知整数x使分式$\frac{2{x}^{2}+5x-20}{x-3}$的值为整数，则满足条件的整数x=2或4或-10或16；
（3）已知一个六位整数$\overline{20xy17}$能被33整除，求满足条件的x，y的值．

Answer 1

分析 （1）将分子x²+6x-3化为（x-1）（x+7）+4，依据题意可得；
（2）将分子2x²+5x-20化为（x-3）（2x+11）+13，依题意可得；
（3）由题意得出$\frac{200017+1000x+100y}{33}$=6061+30x+3y+$\frac{10x+y+4}{33}$，即可知10x+y+4为33的倍数，据此可得．

解答 解：（1）$\frac{{x}^{2}+6x-3}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}-x+7x-7+4}{x-1}$
=$\frac{x（x-1）+7（x-1）+4}{x-1}$
=$\frac{（x-1）（x+7）+4}{x-1}$
=x+7+$\frac{4}{x-1}$，
故答案为：x+7+$\frac{4}{x-1}$；

（2）$\frac{2{x}^{2}+5x-20}{x-3}$=$\frac{2{x}^{2}-6x+11x-33+13}{x-3}$
=$\frac{2x（x-3）+11（x-3）+13}{x-3}$
=$\frac{（x-3）（2x+11）+13}{x-3}$
=2x+11+$\frac{13}{x-3}$，
∵分式$\frac{2{x}^{2}+5x-20}{x-3}$的值为整数，
∴$\frac{13}{x-3}$是整数，
∴x-3=±1或x-3=±13，
解得：x=2或4或-10或16，
故答案为：2或4或-10或16；

（3）$\frac{200017+1000x+100y}{33}$=$\frac{6061×33+4+30x•33+10x+3y•33+y}{33}$
=$\frac{33（6061+30x+3y）+10x+y+4}{33}$
=6061+30x+3y+$\frac{10x+y+4}{33}$，
∵整数$\overline{20xy17}$能被33整除，
∴$\frac{10x+y+4}{33}$为整数，即10x+y+4=33k，（k为整数），
当k=1时，x=2、y=9符合题意；
当k=2时，x=6、y=2符合题意；
当k=3时，x=9、y=5符合题意．

点评 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．