Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=45°，AB=4，AD=5，把梯形沿过点D的直线折叠，使点A刚好落在BC边上，则此时折痕的长为

5 5

2

或2

5

．

Answer 1

分析：过点D作DF⊥BC于F，可得四边形ABFD是矩形，△CDF是等腰直角三角形，然后求出DF、CF的长，再分①折痕与AB相交时，根据翻折的性质可得A′D=AD，利用勾股定理列式求出A′F，设AE=x表示出A′E=x，BE=4-x，再表示出A′B=5-x，然后利用勾股定理列式求出x的值，在Rt△ADE中，利用勾股定理列式计算即可求出折痕DE的长；②折痕与BC相交时，根据翻折的性质可得A′D=AD=5，利用勾股定理列式求出A′F，然后求出A′B=8，设A′E=x，表示出BE=8-x，再根据翻折的性质求出B′E=BE=8-x，然后在Rt△A′B′E中，利用勾股定理列式计算即可求出x的值，然后求出EF，再利用勾股定理列式求解即可得到折痕DE的长．

解答：解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵∠A=∠B=90°，∠C=45°，
∴四边形ABFD是矩形，△CDF是等腰直角三角形，
∴DF=AB=4，CF=DF=4，
①如图1，折痕与AB相交时，根据翻折的性质，A′D=AD=5，
在Rt△A′DF中，A′F=

A′D2-DF2

=

52-42

=3，
AE=x，则A′E=x，BE=4-x，
又∵A′B=BF-A′F=5-3=2，
∴在Rt△A′BE中，A′E²=A′B²+BE²，
即x²=2²+（4-x）²，
解得x=

5

2

，
所以，折痕DE=

AD2+AE2

=

52+( 5 2 )2

=

5 5

2

；
②如图2，折痕与BC相交时，根据翻折的性质，A′D=AD=5，
在Rt△A′DF中，A′F=

A′D2-DF2

=

52-42

=3，
∴A′B=BF+A′F=5+3=8，
设A′E=x，则BE=8-x，
根据翻折的性质求出B′E=BE=8-x，
在Rt△A′B′E中，A′E²=A′B′²+B′E²，
即x²=4²+（8-x）²，
解得x=5，
∴EF=A′E-A′F=5-3=2，
在Rt△DEF中，折痕DE=

DF2+EF2

=

42+22

=2

5

；
综上所述，折痕的长为

5 5

2

或2

5

．
故答案为：

5 5

2

或2

5

．

点评：本题考查了翻折变换的性质以及直角梯形的问题，勾股定理的应用，作出辅助线是解题的关键，难点在于要分折痕的位置分情况讨论求解．