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【题目】如图,矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中,A(3,0),C(0,2),点E是AB的中点,点F在BC边上,且CF=1.

(1)点E的坐标为 , 点F的坐标为
(2)点E关于x轴的对称点为E′,点F关于y轴的对称点为F′,
①点E′的坐标为 , 点F′的坐标为
②求直线E′F′的解析式;
(3)若M为x轴上的动点,N为y轴上的动点,当四边形MNFE的周长最小时,求出点M,N的坐标,并求出周长的最小值.

【答案】
(1)(3,1),(1,2)
(2)(3,﹣1),F'(﹣1,2)
(3)解:如图,∵E(3,1),F(1,2),

∴EF=

∵点E关于x轴的对称点为E′,点F关于y轴的对称点为F′,

∴连接E'F'和x轴交于M,和y轴交于N,此时四边形MNFE的周长最小,

∴NF=NF',ME=ME',

∵E'(3,﹣1),F'(﹣1,2),

∴E'F'= =5,

∴四边形MNFE的周长的最小值为NF+MN+ME+EF

=NF'+MN+ME'+EF=E'F'+EF=5+


【解析】解:(1)∵A(3,0),C(0,2),

∴OA=3,OC=2,

∵四边形OABC是矩形,

∴BC∥OA,OC∥AB,BC=OA=3,AB=OC=2,

∴B(3,2),

∵点E是AB的中点,

∴AE= AB=1,

∴E(3,1),

∵点F在BC上,且CF=1,

∴F(1,2),

所以答案是:(3,1),(1,2),

⑵①由(1)知,E(3,1),F(1,2),

∵点E关于x轴的对称点为E′,点F关于y轴的对称点为F′,

∴E'(3,﹣1),F'(﹣1,2),

所以答案是:(3,﹣1),F'(﹣1,2);

②设直线E'F'的解析式为y=kx+b,

∴直线E'F'的解析式为y=﹣ x+

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