【题目】如图,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB向点B移动(不与点A、B重合),一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与点C、D重合).
(1)若点P、Q均以3cm/s的速度移动,经过多长时间四边形BPDQ为菱形?
(2)若点P为3cm/s的速度移动,点Q以2cm/s的速度移动,经过多长时间△DPQ为直角三角形?
【答案】见解析
【解析】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD.
∵点P、Q均以3cm/s的速度移动,
∴AP=CQ,
∴BP=DQ,
∴四边形BPDQ是平行四边形,
∴当BP=DP时,四边形BPDQ是菱形.
设经过xs,四边形BPDQ是菱形,则有AP=3xcm,BP=(16﹣3x)cm,
由勾股定理得:DP2=(3x)2+62,
∴DP2=(3x)2+62=(16﹣3x)2,
解得:x=.
答:经过s时四边形BPDQ是菱形.
(2)∵点P不与点A重合,
∴∠PDQ≠90°,
∴△DPQ为直角三角形分两种情况:
①当∠DPQ=90°时,△DPQ为直角三角形,过点Q作QM⊥AB于M,易得四边形BCQM为矩形,如图所示.
∵AP=3xcm,BM=CQ=2xcm,则PM=(16﹣5x)cm,DQ=(16﹣2x)cm,
∴(16﹣5x)2+62+(3x)2+62=(16﹣2x)2,
解得:x1=2,x2=;
②当∠DQP=90°时,AP+CQ=16,
所以3x+2x=16,解得:x=.
综上可知:经过2s、s或
s时,△DPQ为直角三角形.
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