Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.

 (1)求证：EO＝FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

Answer 1

【解析】证明：(1)∵MN∥BC，∴∠FEC＝∠BCE.

∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE，∴∠FEC＝∠ACE，

∴OE＝OC.同理可证OF＝OC，∴OE＝FO.

(2)当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，

∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝×180°＝90°.

由(1)得OE＝OF，又∵O为AC的中点，∴AO＝CO.

∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，

∴四边形AECF是矩形．

(3)当△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°时，在(2)的条件下，四边形AECF是正方形．