Question

若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m的立方等于它本身．
（1）试求

2a+2b

m+2

+ac值；
（2）若a＞1，且m＜0，S=|2a一3b|-2|b-m|-|b+

1

2

|，试求4（2a一S）+2（2a-S）-（2a-S）的值．
（3）若m≠0，试讨论：x为有理数时，|x+m|-|x-m|是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据a、b互为相反数，b、c互为倒数，得出a+b=0，bc=1，再代入所求代数式进行计算；
（2）根据a＞1及m的立方等于它本身把S进行化简，再代入所求代数式进行计算；
（3）根据若m≠0，可知m=±1，①当m=1时，代入|x+m|-|x-m|，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出代数式的值，
②同理，当m=-1时代入所求代数式，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出代数式的值，即可．

解答：解：（1）∵a+b=0，bc=1，
∴ac=-1（3分）
∴

2a+2b

m+2

+ac=0-1=-1（4分）
（2）∵a＞1，
∴b＜-1，2a-3b＞0，b+

1

2

＜0（5分）
∵m的立方等于它本身，且m＜0
∴m=-1，b-m=b+1＜0（6分）
∴s=2a-3b+2b+2+b+

1

2

=2a+

5

2

∴2a-s=-

5

2

（7分）
4（2a-S）+2（2a-S）-（2a-S）
=5（2a-S）
=-

25

2

；（8分）

（3）若m≠0，此时m=±1（19分）
①若m=1，则|x+m|-|x-m|=|x+1|-|x-1|
当x≤-1时
|x+1|-|x-1|=-x-1+x-1=-2
当-1＜x≤1时
|x+1|-|x-1|=x+1+x-1=2x
当x＞1时
|x+1|-|x-1|=x+1-x+1=2
∴当x为有理数时，存在最大值为2；（10分）
②若m=-1
同理可得：当x为有理数时，存在最大值为2．（11分）
综上所述，当m=±1，x为有理数时，|x+m|-|x-m|存在最大值为2．（12分）

点评：本题考查的是绝对值的性质，相反数及倒数的定义，代数式求值，熟知以上知识是解答此题的关键．