Question

如图1，△ABC中，BC=25，BC边上的高为20，将AB，AC分别n等分，连接两边对应的等分点，以这些连接线为一边作矩形，使这些矩形的边B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃…的对应边分别为 B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄…
（1）若n=5，如图2，求B₃C₃为一边的矩形的面积；
（2）若n=5，求所有矩形的面积和；
（3）当分为n等分时，你能用含有n的表达式表示所有矩形的面积和吗？猜想当n越大时时所有矩形的面积和接近哪个值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用相似三角形的判定与性质得出

B1C1

BC

=

AE

AD

=

4

5

，

B2C2

BC

=

AF

AD

=

3

5

，

B3C3

BC

=

AG

AD

=

2

5

，

B4C4

BC

=

AH

AD

=

1

5

，进而得出矩形的边长即可得出答案；
（2）利用（1）中所求进而得出其面积和；
（3）当分割为n分时，同（1）推理可知：B₁C₁=25×

n-1

n

，B₂C₂=25×

n-2

n

，B₃C₃=25×

n-3

n

，…B_n-1C_n-1=25×

1

n

，进而求出其面积和，再得出近似值．

解答：解：（1）过A作AD⊥BC于D，交B₁C₁于E，交B₂C₂于F，交B₃C₃于G，交B₄C₄于H，则
AD⊥B₄C₄，AM⊥B₃C₃，AM⊥B₂C₂，AM⊥B₁C₁，
∵由矩形的性质得：BC∥B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃∥B₄C₄，
∴△ABC∽△AB₁C₁∽△AB₂C₂∽△AB₃C₃∽△AB₄C₄，
∴

B1C1

BC

=

AE

AD

=

4

5

，

B2C2

BC

=

AF

AD

=

3

5

，

B3C3

BC

=

AG

AD

=

2

5

，

B4C4

BC

=

AH

AD

=

1

5

，
∵AD=20，BC=25，
∴B₁C₁=20，B₂C₂=15，B₃C₃=10，B₄C₄=5，AH=4，AG=8，AF=12，AE=16，
∴HG=GF=EF=ED=4，
∴矩形B₃C₃ML的面积为40；

（2）由（1）得所有矩形的面积和为：（5+10+15+20）×4=200；

（3）当分割为n分时，同（1）推理可知：

B1C1

BC

=

n-1

n

，

B2C2

BC

=

n-2

n

，

B3C3

BC

=

n-3

n

，

B4C4

BC

=

n-4

n

，…

Bn-1Cn-1

BC

=

1

n

，
则B₁C₁=25×

n-1

n

，B₂C₂=25×

n-2

n

，B₃C₃=25×

n-3

n

，…B_n-1C_n-1=25×

1

n

，
则每个小矩形的高为：

20

n

，
故所有矩形的面积和为：
（25×

n-1

n

+25×

n-2

n

+25×

n-3

n

+…+25×

1

n

）×

20

n

=

25

n

（n-1+n-2+…+1）×

20

n

=

25

n

×

(n-1)n

2

×

20

n

=

250(n-1)

n

，
故当n越大时所有矩形面积之和接近250．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的面积求法等知识，表示出矩形的长与宽是解题关键．