Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以AC为直径作⊙O，OB交⊙O于E，AE的延长线交BC于D，连接CE．
（1）求证：△BED∽△BCE．
（2）若AC=4，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEC=90°，而∠ACB=90°，根据等角的余角相等得到∠4=∠1，易得∠4=∠3=∠2，则∠2=∠1，又∠EBD=∠CBE，根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）由AC=4得到OC=OE=2，BC=4，利用勾股定理计算出OB═2

5

，则BE=OB-OE=2

5

-2，设CD=x，则BD=4-x，利用△BED∽△BCE得到BE：BC=BD：BE，则有（2

5

-2）：4=（4-x）：（2

5

-2），
然后解方程求出x即可．

解答：（1）证明：如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠4=∠1，
∵OA=OB，
∴∠3=∠4，
而∠3=∠2，
∴∠2=∠4，
∴∠2=∠1，
∵∠EBD=∠CBE，
∴△BED∽△BCE；

（2）解：∵AC=4，
∴OC=OE=2，BC=4，
在Rt△OCB中，OB=

BC2+OC2

=2

5

，
∴BE=OB-OE=2

5

-2，
设CD=x，则BD=4-x，
∵△BED∽△BCE，
∴BE：BC=BD：BE，
∴（2

5

-2）：4=（4-x）：（2

5

-2），
∴x=2

5

-2，即CD的长为2

5

-2．

点评：本题考查了圆的综合题：直径所对的圆周角为直角；利用勾股定理和相似三角形的相似比进行几何计算是常用的方法．