Question

18．问题探究：
（1）如图①，边长为4的等边△OAB位于平面直角坐标系中，将△OAB折叠，使点B落在OA的中点处，则折痕长为2；
（2）如图②，矩形OABC位于平面直角坐标系中，其中OA=8，AB=6，将矩形沿线段MN折叠，点B落在x轴上，其中AN=$\frac{1}{3}$AB，求折痕MN的长；
问题解决：
（3）如图③，四边形OABC位于平面直角坐标系中，其中OA=AB=6，CB=4，BC∥OA，AB⊥OA于点A，点Q（4，3）为四边形内部一点，将四边形折叠，使点B落在x轴上，问是否存在过点Q的折痕，若存在，求出折痕长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，B的对称点B′，折痕为MN，MN交BB′于H．只要证明折痕是△ABC的中位线即可．
（2）如图2中，B的对称点B′，折痕为MN，MN交BB′于H，求出直线MN的解析式即可解决问题．
（3）存在．如图3中，延长BQ交OA于B″，连接AQ，过点Q作MN∥OA，交OC于M，交AB于N．可以证明线段MN计算折痕；作BB″的垂直平分线PF，交OC于P，交AB于F，此时B、B″关于直线PF对称，线段PF也是折痕．分别求出MN、PF即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，B的对称点B′，折痕为MN，MN交BB′于H．

∵△ABC是等边三角形，OB′=B′A，
∴BB′⊥OA，又∵BB′⊥MN，
∴MN∥OA，∵BH=HB′，
∴BM=OM，BN=NA，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$OA=2．
故答案为2．

（2）如图2中，B的对称点B′，折痕为MN，MN交BB′于H

∵AN=$\frac{1}{3}$AB=2，
∴NB=NB′=4，
在Rt△ANB′中，AB′=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴OB′=8-2$\sqrt{3}$，
∴点B′（8-2$\sqrt{3}$，0），
∵B（8，6），
∴BB′中点H（8-$\sqrt{3}$，3），∵点N坐标（8，2），
设直线NH解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=2}\\{（8-\sqrt{3}）k+b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2+\frac{8\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线NH解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴点M坐标（0，2+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），
∴MN=$\sqrt{{8}^{2}+（\frac{8\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

（3）存在．
理由：如图3中，延长BQ交OA于B″，连接AQ，过点Q作MN∥OA，交OC于M，交AB于N．

∵Q（4，3），
∴N（6，3），
∴BN=AN．QB=QB″，
作BB″的垂直平分线PF，交OC于P，交AB于F，此时B、B″关于直线PF对称，满足条件，
在Rt△ABB″中，∵∠BAB″=90°，BQ=QB″，
∴AQ=QB，
∴此时B、A（B′）关于直线MN对称，满足条件．
∵C（2，6），
∴直线OC解析式为y=3x，
∵NM∥OA，BN=NA，
∴CM=OM，
∴点M（1，3），
∴MN=5（过M做MM'⊥BA于M'，利用△BB'A中AB'=2√3，AB=6，所以∠B'BA=30°，进而推导∠M'MN=30°，求得MN结果更快！）
∵B（6，6），B″（2，0），
∴可得直线BB″的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-3，
∴过点Q垂直BB″的直线PF的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{17}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{3}x+\frac{17}{3}}\\{y=3x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{17}{11}}\\{y=\frac{51}{11}}\end{array}\right.$，
∴点P（$\frac{17}{11}$，$\frac{51}{11}$），F（6，$\frac{5}{3}$），
∴PF=$\sqrt{（\frac{17}{11}-6）^{2}+（\frac{51}{11}-\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{49\sqrt{13}}{33}$，
综上所述，折痕的长为5或$\frac{49\sqrt{13}}{33}$．

点评 本题考查四边形综合题、一次函数、勾股定理、线段垂直平分线性质，两条直线垂直k的乘积为-1等知识，解题的关键是灵活待定系数法确定函数解析式，学会利用解方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．