Question

9、如图，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2b＜a+c，求证：2∠B＜∠A+∠C．

Answer 1

分析：可延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，使CE=AB=c，连接DE，这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，可得∠BDE=∠BED，作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连接EF，则ADFC是平行四边形．再根据平行四边形的性质及全等三角形的性质通过转化，最终得出结论．

解答：证明：延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，使CE=AB=c，连接DE，
这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，
∴∠BDE=∠BED，
作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连接EF，则ADFC是平行四边形．
∴CF=AD=BC，
又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA
∴EF=AC，
于是DE≤DF+EF=2b＜a+c=BD=BE．
这样，在△BDE中，便有∠B＜∠BDE=∠BED
∴∠2B＜∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，
即2∠B＜∠A+∠C．

点评：本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质和等腰三角形的性质，能够熟练掌握．