Question

12．已知开口向下的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（x₁＜x₂），与y轴交于C（0，5），若a+b+c=0且S_△ABC=15，求其解析式．

Answer 1

分析 由与y轴交于C（0，5），得出c=0，a+b+c=0得出与x轴的一个交点坐标为（1，0），分x₁=1，和x₂=1，利用S_△ABC=15，分别求得另一个点的坐标，进一步求得函数解析式即可．

解答 解：∵抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于C（0，5），
∴c=5，
∵a+b+c=0，
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
当A为（1，0），则15×2÷5+1=7，
则点B为（7，0），此时$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{49a+7b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{7}}\\{b=-\frac{40}{7}}\\{c=5}\end{array}\right.$，
抛物线为y=$\frac{5}{7}$x²-$\frac{40}{7}$x+5；
当B为（1，0），则1-15×2÷5=-5，
则点B为（-5，0），此$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{25a-5b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
抛物线为y=-x²-4x+5．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．