Question

17．已知：抛物线y=x²+bx+c经过点（2，-3）和（4，5）．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；
（3）在（2）的条件下，当-2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接把A、B两点的坐标代入y=x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶点坐标．
（2）根据关于x轴对称的两点x坐标相同，y坐标互为相反数，即可求得图象G的表达式；
（3）求得抛物线的顶点坐标和x=-2时的函数值，结合图象即可求得m的值．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=-3}\\{16+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
∵抛物线的解析式为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
（2）根据题意，-y=x²-2x-3，所以y=-x²+2x+3．
（3）∵抛物线y=x²-2x-3的顶点为（1，-4），当x=-2时，y=5，抛物线y=-x²+2x+3的顶点（1，4），当x=-2时，y=-5．
∴当-2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，则m=4或-5＜m＜3．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及翻折的性质，（3）结合图象是解题的关键．