Question

2．如图1，已知线段AB两个端点坐标分别为A（a，1），B（-2，b），且a、b满足：$\sqrt{a+5}$+$\sqrt{b-3}$=0
（1）则a=-5，b=3；
（2）在y轴上是否存在点C，使S_△ABC=8？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将线段BA平移得到线段OD，其中B点对应O点，A点对应D点，点P（m，n）是线段OD上任意一点，求证：3n-2m=0．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得a=-5，b=3；
（2）过点A作AN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，根据点A、B的坐标得出BM=2，OM=3，MN=2，AN=5，然后分两种情况①当C在P点的上方时；②当C在P点的下方时，使S_△ABC=8，求出点C的坐标；
（3）过D点作DH⊥y轴于H，过点P作PG⊥y轴于G，可得线段OD是由线段BA向右平移2个单位，向下平移3个单位得到的，根据点P（m，n），可得PG=-m，OG=-n，DH=3，OH=2，根据S_△ODH=S_△OPG+S_梯形PGHD，代入即可证明．

解答 解：（1）∵a、b满足：$\sqrt{a+5}$+$\sqrt{b-3}$=0，
∴a+5=0，b-3=0，
∴a=-5，b=3；

（2）过点A作AN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，如图1所示，
∵B（-2，3），A（-5，1），
∴BM=2，OM=3，MN=2，AN=5，
设直线AB交y轴于P，
①当C在P点的上方时，
设C₁M=a，
∴S_△ABC=S_△ANC-S_梯形ABMN-S_△MBC，
∴$\frac{1}{2}$×（2+a）×5-$\frac{1}{2}$×（2+5）×2-$\frac{1}{2}$×2 a=8，
∴a=$\frac{20}{3}$，
∴C₁O=a+3=$\frac{29}{3}$，
∴C₁：（0，$\frac{29}{3}$），
设PM=m，
∵S_△APN=S_△BPM+S_梯形ABMN，
∴$\frac{1}{2}$×（2+m）×5=$\frac{1}{2}$×m×2+$\frac{1}{2}$×（2+5）×2，
解得：m=$\frac{4}{3}$，
∴OP=OM+PM=$\frac{13}{3}$，
∴P（0，$\frac{13}{3}$）；
②当C在P点的下方时，作点C₂使PC₁=PC₂，
∵S_△APC1=S_△APC2，
S_△BPC1=S_△BPC2，
∴S_△ABC1=S_△ABC2，
∵P：（0，$\frac{13}{3}$），C₁：（0，$\frac{29}{3}$），
∴PC₁=PC₂=$\frac{16}{3}$，
∴OC₂=1，
∴C₂（0，-1），
∴在y轴上存在点C，使S_△ABC=8，点C的坐标分别是：C₁（0，$\frac{29}{3}$），C₂（0，-1）；

（3）过D点作DH⊥y轴于H，过点P作PG⊥y轴于G，如图2所示，
∵点B及其对应点O的坐标分别是B（-2，3），O（0，0），
∴线段OD是由线段BA向右平移2个单位，向下平移3个单位得到的，
∴点A（-5，1）的对应点D的坐标是（-3，-2），
∵点P（m，n），
∴PG=-m，OG=-n，DH=3，OH=2，
∴S_△ODH=S_△OPG+S_梯形PGHD，
∴$\frac{1}{2}$×3×2=$\frac{1}{2}$×（-m+3）×（n+2）+$\frac{1}{2}$×mn，
∴6=mn-mn-2m+3n+6，
∴3n-2m=0．
故答案为：-5，3．

点评 本题考查了几何变换综合题，涉及了非负数的有意义的条件，三角形和梯形的面积公式，平移的性质等知识点，解答本题的关键是根据题意作出合适的辅助线，注意分情况讨论求出点的坐标，本题综合性较强，难度适中．