Question

14．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两
点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度
为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．

Answer 1

分析 首先连接BD，由在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，可得△ABD是等边三角形，又由△DEF为等边三角形，可得△ADE≌△BDF（SAS），继而可得当AE=BF时，△DEF是等边三角形，即可求得答案．

解答 解：连接BD，
∵在菱形ABCD中，∠ADC=120°，
∴AD=AB，∠A=60°，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD，
∵若△DEF是等边三角形，则∠DEF=60°，DE=DF，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADE=∠BDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴AE=BF，
∴当AE=BF时，△DEF是等边三角形，
∵E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，
∴AE=tcm，CF=2tcm，
则BF=BC-CF=4-2t（cm），
∴t=4-2t，
解得：t=$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABD是等边三角形且△ADE≌△BDF是关键．