Question

17．如图，直线l₁的解析表达式为y=3x-3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A，B，直线l₁，l₂交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l₂上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A，D，C，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点H的个数．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出x的值即可得出D点坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线l₂的解析式，故可得出C点坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）根据△ADP与△ADC的高相等即可得出结论；
（4）分AD是平行四边形的边与对角线两种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵令y=0，则x=1，
∴D（1，0）；

（2）设直线l₂的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（4，0），B（3，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}0=4k+b\\ \frac{3}{2}=3k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{3}{2}\\ b=6\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=3x-3\\ y=-\frac{3}{2}x+6\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$，
∴C（2，3）．
∵AD=4-1=3，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$；

（3）∵△ADP与△ADC的底相同，
∴其高相等，
∴当y=-3即-$\frac{3}{2}$x+6=-3时，x=6，
∴P（6，-3）；

（4）存在．
设H（a，b），
当AD为平行四边形的边时，
∵AD∥CH，AD=CH=3，A（4，0），D（1，0），C（2，3），
∴H₁（5，3），H₂（-1，3）；
当AD为平行四边形的对角线时，
$\frac{1+4}{2}$=$\frac{2+a}{2}$，$\frac{3+b}{2}$=0，解得a=3，b=-3，
∴H₃（3，-3）．
∴满足条件的点H的个数是3个．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．