Question

已知AB是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，点D是射线BE上一动点，且弦AC∥OD．
（1）试说明：CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，当点D运动到什么位置时，有AC=r？

Answer 1

（1）证明：如图，∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵AC∥OD，
∴∠1=∠3，∠1=∠4，
∴∠3=∠4，
∴在△DCO与△DBO中，
，
∴△DCO≌△DBO（SAS），
∠DCO=∠DBO．
又∵BE是⊙O的切线，
∴∠DBO=90°，
∴∠DCO=90°，即CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）如图2，在△AOC中，OA=OC=r．
∵AC=r，
∴AC²=OA²+OB²，
∴∠AOC=90°，即OC⊥AB．
又∵OC⊥CD，BD⊥AB，
∴四边形OCDB是矩形．
∴BD=OC=r，即点D运动到距离点B为r处时，AC=r．
分析：（1）如图1，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OD；
（2）如图2，根据勾股定理逆定理证得△AOC是直角三角形；然后根据直角三角形的性质、矩形的判定与性质推知四边形OCDB是矩形，则BD=OC=r，即点D运动到距离点B为r处时，AC=r．
点评：本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理以及矩形的判定与性质．注意此题辅助线的作法，是连接切点与圆心，构造直角三角形，通过直角三角形 的性质解答问题．