Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出a，b，c，即可求解；
（2）用S=S_△AOP+S_△COP-S_△AOC计算即可；
（3）设M（0，m）先判定△AOM≌△MFD，求出m即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-x²-2x+3；
（2）如图所示，

设P（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜0），
∵OA=3，OC=3，
∴S=S_△AOP+S_△COP-S_△AOC
=$\frac{1}{2}$OA×|y_P|+$\frac{1}{2}$OA×|x_P|-$\frac{1}{2}$OA×OC
=$\frac{1}{2}$×3×（-x²-2x+3）+$\frac{1}{2}$×3×（-x）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x
=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{27}{8}$，
∴-（-$\frac{3}{2}$）²-2×（-$\frac{3}{2}$）+3=$\frac{15}{4}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
（3）如图所示，当△ADM是等腰直角三角形，只能∠AMD=90°，
设M（0，m），过D作DF⊥x轴，
∴F（0，4），
∴OM=m，FM=4-m，DF=1，
∴△AOM≌△MFD，
∴OM=DF=1，FM=OA=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{4-m=3}\end{array}\right.$，
∴m=1，
∴M（0，1）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求函数解析式，三角形面积的计算方法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是熟记二次函数的性质．