Question

7．如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点在M在QO上，MC垂直平分OA，点N为直线AB上一动点（N不与A重合），若△MNP∽△MAC，PC与直线AB所夹锐角为α．
（1）若AM=AC，点N与点O重合，则α=30°；
（2）若点C、点N的位置如图所示，求α的度数；
（3）当直线PC与⊙O相切时，则MC的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA，可以求得△MAO的形状，然后根据点C在圆O上，AP是圆O的直径，从而可以求得α的值；
（2）根据AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA，可以求得△MAO的形状，△MNP∽△MAC，从而可以求得∠AMC和α的值，从而可以求得α的值；
（3）根据题意和图形，以及（2）中α的值，直线PC与⊙O相切．可以分别求得MD、DC的长，从而可以求得MC的长．

解答 解：（1）如右图一所示，
∵AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA，
∴MA=AC=MO=OA，
∵点M在圆O上，
∴点C在圆O上，
∵AP是圆O的直径，
∴∠ACP=90°，
∵AP=2AC，
∴∠APC=30°，
即α=30°，
故答案为：30；
（2）连接MO，如右图二所示，
∵MC垂直平分AO，MO=AO，
∴MA=MO=AO，
∴∠MAO=60°，
∵△MNP∽△MAC，
∴$\frac{MA}{MN}=\frac{MC}{MP}$，∠AMC=∠NMP，
∴∠AMN=∠CMP，
∴△AMN∽△CMP，
∴∠MAN=∠MCP，
∵∠MAN=60°，
∴∠MCP=60°，
又∵∠CDB=90°，
∴α=90°-60°=30°；
（3）连接OE，如右图三所示，
∵AB=2，MC垂直平分AO，
∴AO=1，DO=$\frac{1}{2}$，MD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（2）可得，α=30°，
∵OE=1，∠OEF=90°，
∴OF=2OE=2，
∴DF=$\frac{5}{2}$，
∴DC=DF•tanα=$\frac{5}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
∴MC=MD+DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{6}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．