Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，若AB=O₁A=4，O₂A=2

2

，求：
（1）∠O₁AO₂的度数；
（2）O₁之O₂间的距离．

Answer 1

考点：相交两圆的性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，由O₁B=AB=O₁A=4得到△ABO₁为等边三角形，∠O₁AB=α=60°；利用cos∠O₂AB=

2

2 2

=

2

2

，求出∠O₂AB=β=45°，问题即可解决．
（2）由sinα=

O1C

O1A

=

3

2

，sinβ=

CO2

AO2

=

2

2

，分别求出CO1=

3

2

×4=2

3

，CO2=

2

2

×2

2

=2，问题即可解决．

解答：解：（1）如图，连接O₁O₂、O₁B、O₂B；
则O₁O₂⊥AB、AC=BC=2；
∵O₁B=AB=O₁A=4，
∴△ABO₁为等边三角形，∠O₁AB=α=60°；
在直角△ACO₂中，
∵cos∠O₂AB=

2

2 2

=

2

2

，
∴∠O₂AB=β=45°，
∴∠O₁AO₂=60°+45°=105°．
（2）∵sinα=

O1C

O1A

=

3

2

，sinβ=

CO2

AO2

=

2

2

，
∴CO1=

3

2

×4=2

3

，CO2=

2

2

×2

2

=2，
∴O1O2=2

3

+2．

点评：该题主要考查了相交两圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合运用能力提出了较高的要求．