Question

（本题满分10分，其中每小题各5分）
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D为BC中点，连结AD，过点D作DE⊥AD，交AB的延长线于E．

（1）若AD=，求△ABC的面积；
（2）求的值．

Answer 1

(1)S_△ABC=2.(2)=.

试题分析：解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°，∴AC=2AB      （1分）
设AB=k，则AC=2k，BC=k，∵D为BC中点，∴BD=DC=k
在Rt△ABD中，AB²+BD²=AD²，AD=
∴k²+(k)²=()²    （1分）
∴k=2       （1分）
∴AB=2，BC=2       （1分）
∴      （1分）
（2）∵AD⊥DE,∴∠ADE=90º，∴∠DAE+∠E=90º
∵∠ABC=90°，∴∠DAE+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠E      （1分）
∵∠ABD=∠DBE=90°，∴△ABD∽△DBE       （1分）
∴     （1分）
∴，∴    （1分）
∴     （1分）
点评：（1）问，应用了直角三角形特殊角与边与边之间的关系，由题意求出边长易得到三角形的面积。（2）中根据已知可证得两个三角形相似，利用相似比，可求出，本题难度不大，属于基础题。