Question

（1）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的弦AE交于BC于D．求证：AB•AC=AD•AE；
（2）在（1）的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明．若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接CE，
∵AB=AC，
∴，
∴∠AEC=∠ACD；
又∵∠EAC=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，
∴，即AC²=AD•AE；
又∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AE．

（2）答：上述结论仍成立．
证明：连接BE，
∵AB=AC，
∴，
∴∠AEB=∠ABD；
又∵∠EAB=∠DAB
∴△AEB∽△ABD，
∴，即AB²=AD•AE．
又∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AE．
分析：（1）要证明AB•AC=AD•AE成立，只要能证得，要用AB=AC，结合圆，等弧对等角，观察本题无平行关系，首先考虑三角形的相似．连接CE，可证明△AEC∽△ACD，问题解决．
（2）假设结论仍成立，考虑作辅助线，看是否有三角形相似，能说明与AB•AC=AD•AE有关的成比例的线段关系．连接BE，可证得△AEB∽△ABD，进而可使问题解决．
点评：有三角形和圆，证明线段成比例关系时，先想到三角形相似，条件不全时，应考虑作辅助线．