Question

已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题,相似三角形的性质

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1））由四边形ABCD是菱形，OA=

1

2

AC，OB=

1

2

BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出

DF

DC

=

QD

OD

．求出DF．由AP=DF．求出t．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S_菱形ABCD=AB•CG=

1

2

AC•BD，求出CG．据S_梯形APFD=

1

2

（AP+DF）•CG．S_△EFD=

1

2

EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；
（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S_菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=

1

2

AC=6，OB=OD=

1

2

BD=8．
在Rt△AOB中，AB=

62+82

=10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD=∠COD=90°．
又∵∠FDQ=∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴

DF

DC

=

QD

OD

．
即

DF

10

=

t

8

，
∴DF=

5

4

t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP=DF．
即10-t=

5

4

t，
解这个方程，得t=

40

9

．
∴当t=

40

9

s时，四边形APFD是平行四边形．

（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵S_菱形ABCD=AB•CG=

1

2

AC•BD，
即10•CG=

1

2

×12×16，
∴CG=

48

5

．
∴S_梯形APFD=

1

2

（AP+DF）•CG
=

1

2

（10-t+

5

4

t）•

48

5

=

6

5

t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴

QD

OD

=

QF

OC

．
即

t

8

=

QF

6

，
∴QF=

3

4

t．
同理，EQ=

3

4

t．
∴EF=QF+EQ=

3

2

t．
∴S_△EFD=

1

2

EF•QD=

1

2

×

3

2

t×t=

3

4

t²．
∴y=（

6

5

t+48）-

3

4

t²=-

3

4

t²+

6

5

t+48．

（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

若S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，
则-

3

4

t²+

6

5

t+48=

17

40

×96，
即5t²-8t-48=0，
解这个方程，得t₁=4，t₂=-

12

5

（舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t=4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴

PN

AO

=

PB

AB

=

BN

BO

，即

PN

6

=

4

10

=

BN

8

．
∴PN=

12

5

，BN=

16

5

．
∴EM=EQ-MQ=3-

12

5

=

3

5

．
PM=BD-BN-DQ=16-

16

5

-4=

44

5

．
在Rt△PME中，
PE=

PM2+EM2

=

( 44 5 )2+( 3 5 )2

=

1945

5

（cm）．

点评：本题主要考查了四边形的综合知识，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．