已知抛物线l:y=ax2+bx+c的顶点为M.与y轴的交点为N.我们称以N为顶点.对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线.直线MN为抛物线l的衍生直线．(1)如图.抛物线y=x2-2x-3的衍生抛物线的解析式是 .衍生直线的解析式是 ,(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=-2x2+1和y=-2x+1.求这条抛物线的解析式,中的抛物线y=x2-2x-3的顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知抛物线l：y=ax²+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y=x²-2x-3的衍生抛物线的解析式是

，衍生直线的解析式是

；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=-2x²+1和y=-2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y=x²-2x-3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．
（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．
（3）由N（0，-3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=-3，再向上平移1个单位即得直线y=-2，所以P点可设（x，-2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2x-3过（0，-3），
∴设其衍生抛物线为y=ax²-3，
∵y=x²-2x-3=x²-2x+1-4=（x-1）²-4，
∴衍生抛物线为y=ax²-3过抛物线y=x²-2x-3的顶点（1，-4），
∴-4=a•1-3，
解得 a=-1，
∴衍生抛物线为y=-x²-3．
设衍生直线为y=kx+b，
∵y=kx+b过（0，-3），（1，-4），
∴

-3=0+b

-4=k+b

，
∴

k=-1

b=-3

，
∴衍生直线为y=-x-3．

（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
∴将y=-2x²+1和y=-2x+1联立，得

y=-2x2+1

y=-2x+1

，
解得

x=0

y=1

或

x=1

y=-1

，
∵衍生抛物线y=-2x²+1的顶点为（0，1），
∴原抛物线的顶点为（1，-1）．
设原抛物线为y=a（x-1）²-1，
∵y=a（x-1）²-1过（0，1），
∴1=a（0-1）²-1，
解得 a=2，
∴原抛物线为y=2x²-4x+1．

（3）∵N（0，-3），
∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=-3，
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=-2．
设点P坐标为（x，-2），
∵O（0，0），M（1，-4），
∴OM²=（x_M-x_O）²+（y_O-y_M）²=1+16=17，
OP²=（|x_P-x_O|）²+（y_O-y_P）²=x²+4，
MP²=（|x_P-x_M|）²+（y_P-y_M）²=（x-1）²+4=x²-2x+5．
①当OM²=OP²+MP²时，有17=x²+4+x²-2x+5，
解得x=

或x=

，即P（

，-2）或P（

，-2）．
②当OP²=OM²+MP²时，有x²+4=17+x²-2x+5，
解得 x=9，即P（9，-2）．
③当MP²=OP²+OM²时，有x²-2x+5=x²+4+17，
解得 x=-8，即P（-8，-2）．
综上所述，当P为（

，-2）或（

，-2）或（9，-2）或（-8，-2）时，△POM为直角三角形．

点评：本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是“利用其表示坐标系中两点距离”是近几年考试的热点，学生需熟练运用．

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下列计算正确的是（　　）

A、

B、

•

C、

D、

(-5)2

=-5

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计算：
（1）

÷（π-5.3）⁰-|-3|；
（2）(

)-1+（1+

）（1-

）-

．

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如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

x+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B．
（1）填空：b=

；
（2）点C在线段OB上，其坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为线段OA上的一个动点，连接CD、DE．
①当m=3，且DE∥y轴时，求点D的坐标；
②在点D运动的过程中，是否存在以CE为直径的圆恰好与x轴相切于点D？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“先”、“驱”、“团”、“风”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“团”的概率为多少？
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“先驱”或“团风”的概率P₁；
（3）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“先驱”或“团风”的概率为P₂，指出P₁，P₂的大小关系（请直接写出结论，不必证明）．

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已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形APFE}：S_菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

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解方程组
（1）

x-2y=1

3x-5y=8

；
（2）

x+1

y-1

=-1

x+y=2

．

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