Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

4

3

x+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B．
（1）填空：b=

 

；
（2）点C在线段OB上，其坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为线段OA上的一个动点，连接CD、DE．
①当m=3，且DE∥y轴时，求点D的坐标；
②在点D运动的过程中，是否存在以CE为直径的圆恰好与x轴相切于点D？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）直接把点A（6，0）代入直线y=-

4

3

x+b，求出b的值即可；
（2）①先求出点B的坐标，根据勾股定理求出AB的长，再由相似三角形的判定定理得出△BCE∽△BAO，得出BE及AE的长，再根据△EDA∽△BOA得出OD的长，进而得出结论；
②取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于点G．由△BCE∽△BAO可得CE=

24

5

-

3

5

m，先求出∠GCP=∠BAO，cos∠GCP=cos∠BAO，CG=CP•cos∠GCP，OG=OC+CG，当OG=CP时，⊙P恰好与x轴相切于点D，由OG=CP得出关于m的一元一次方程，求出m的值即可．

解答：解：（1）∵直线y=-

4

3

x+b与x轴交于点A（6，0），
∴（-

4

3

）×6+b=0，解得b=8．
故答案为：8；

（2）①由（1）得y=-

4

3

x+8当x=0时，y=8，即B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=

OB2+OA2

=

82+62

=10，
当m=3时，BC=5，
∵∠CEB=∠AOB=90°，
又∵∠OBA=∠EBC，
∴△BCE∽△BAO，
∴

BE

OB

=

BC

AB

，即

BE

8

=

5

10

，
∴BE=4，
∴AE=AB-BE=6．
∴DE∥BO，
∴△EDA∽△BOA，
∴

AD

OA

=

AE

AB

，即

6-OD

6

=

6

10

，
∴OD=

12

5

，
∴点D的坐标为（

12

5

，0）．

②解法一：取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于点G．
由△BCE∽△BAO可得：CE=

24

5

-

3

5

m，
则CP=

1

2

CE=

12

5

-

3

10

m． 
如图2，易证∠GCP=∠BAO，
∴cos∠GCP=cos∠BAO=

3

5

，
∴CG=CP•cos∠GCP=

3

5

（

12

5

-

3

10

m）=

36

25

-

9

50

m．
∴OG=OC+CG=m+

36

25

-

9

50

m=

41

50

m+

36

25

．
当OG=CP时，⊙P恰好与x轴相切于点D．
∴

41

50

m+

36

25

=

12

5

-

3

10

m，
解得：m=

6

7

．
解法二：②取CE的中点P，过E作EH⊥x轴于点H，连结PD．
由△BCE∽△BAO可得：
CE=

24

5

-

3

5

m，BE=

32

5

-

4

5

m，AE=10-BE=

18

5

+

4

5

m，
如图3，EH⊥x轴 易证∠EHA=∠BOA，∠BAO=∠BAO，
∴△AEH∽△ABO，
∴

EH

BO

=

AE

AB

，
∴EH=

4

5

（

18

5

+

4

5

m）=

72

25

+

16

25

m，
当 PD⊥x轴时，⊙P恰好与x轴相切于点D．
此时易证点D是OH的中点，即PD是梯形COHE的中位线，
∴CO+EH=2PD=CE，
∴m=

72

25

+

16

25

m=

24

5

-

3

5

m，
解得：m=

6

7

．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，难度适中．