Question

20．如图，点A、B、C在⊙O上，点B是$\widehat{AC}$的中点，∠ABC=∠AOC，将四边形AOCB绕点A按顺时针方向旋转一定角度后，点C落在圆上的点D处，连结OD．
（1）求证：四边形AOCB为菱形；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接半径OB，证明△AOB≌△COB（SAS），得∠CBO=∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，证明△BCO是等腰三角形，得：AB=AO=OB=OC=BC，则四边形AOCB为菱形；
（2）观察图形得：阴影部分面积=扇形CAD的面积-2个△CAO的面积，由菱形的对角线互相垂直得：AC⊥OB，与△ABO和△CBO是等边三角形，则∠OCB=∠OAB=60°，有30°存在，根据直角三角形30°的性质可知：AC和扇形的圆心角∠CAD=60°，代入扇形的面积公式可得阴影图形的面积．

解答 证明：（1）连接OB，
∵点B是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠COB=∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∵OA=OB=OC，
∴△AOB≌△COB（SAS），
∴∠CBO=∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC=∠AOC，
∴∠CBO=∠COB，
∴BC=OC，
∴AB=AO=OB=OC=BC，
∴四边形AOCB为菱形；

（2）连接AC、AD，
∵AC=AD，AO=AO，OC=OD，
∴△AOC≌△AOD（SSS），
∴∠CAO=∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAO，
∵AB=AO=OB=OC=BC，
∴△ABO和△CBO是等边三角形，
∴∠OCB=∠OAB=60°，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AC⊥OB，∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠CAD=2∠OAC=60°，
∵OA=2，∠OAC=30°
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴S_扇形CAD=$\frac{60π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=2π，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$1×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形CAD-2S_△AOC=2π-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理、旋转的性质、扇形的面积公式、等边三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、菱形的性质和判定，应用的知识较多，但难度不大，注意：所求的阴影部分是以A为圆心，以AC为半径的扇形CAD与两三角形面积的差．