Question

如图，已知在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求EF的长度；
（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：

分析：（1）先根据角平分线的性质，得出EF=CE，然后在直角△AEF中，运用勾股定理即可求出EF的长度；
（2）在△CEG中证明∠CEG=∠CGE即可得出结论．

解答：解：（1）∵6²+8²=10²，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠C=90°，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，
∴CE=EF，
在Rt△BFE与Rt△BCE中，

BE=BE EC=EF

，
∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL），
∴BF=BC=8．
∵AB=10，
∴AF=AB-BF=2．
设EF=x，则CE=x，AE=6-x，
在直角△AEF中，由勾股定理，得AE²=EF²+AF²，
∴（6-x）²=x²+2²，
解得x=

8

3

；

（2）∵在△BCE中，∠CEB=90°-∠CBE，
∠CGE=∠DGB=90°-∠DBG，
∠CBE=∠DBG，
∴∠CEB=∠CGE，
∴CE=CG．

点评：本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理以及等腰三角形的判定，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．