Question

11．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；

（2）PQ=$\sqrt{2}$MB；理由如下：
连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
在△APC和△QME中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MQE=∠PAC}&{\;}\\{∠ACP=∠QEM}&{\;}\\{AP=QM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△QME（AAS），
∴PC=ME，
∴△MEB是等腰直角三角形，
∴$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MB，
∴PQ=$\sqrt{2}$MB．
方法二：也可以延长AC到D，使得CD=CQ．
则易证△ADP≌△QBM．
∴BM=PD=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$QC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ，
即PQ=$\sqrt{2}$MB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．