Question

如图△ABC中，AB=AC，O为AB上的一点，⊙O经过点B且与AC相切于F点，⊙O与BC相交于点D，作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）如果CE=2，AF=3，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OD．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB．
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED=90°，即OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线．

（2）如图，连接OF．设⊙O的半径是r．
∵AC与⊙O相切，
∴OF⊥AC．
∴∠OFE=∠FED=∠ODE=90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴OD=EF=r，∠FOD=90°．
∵AB=AC，∴AO+r=AF+EF+FC=3+r+2=5+r．
∴AO=5．
在Rt△AFO中，根据勾股定理知，OF===4，即r=4，
∴⊙O的半径是4．
分析：（1）如图，连接OD．欲证明DE为⊙O的切线，只需证明OD⊥DE．
（2）如图，连接OF．利用矩形的判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形）推知四边形ODEF是矩形，则EF=OD=r．然后在Rt△AFO中，根据勾股定理知，OF=4．
点评：本题考查了切线的判定、勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．