Question

20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（-4，0），B（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=-1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N在第四象限的抛物线上，且△NAB是以AB为底的等腰三角形，求N点的坐标；
（3）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，当点P在何处时，点P到直线AB的距离最大，并求出最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据对称性求出抛物线由x轴的另一个交点C（2，0），设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），把B（0，4）代入即可解决问题．
（2）求出线段AB的中垂线的解析式，利用方程组即可求出点N坐标．
（3）点P到直线AB的距离最大，则△PAB面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）设抛物线与x轴的另一个交点为C，
∵对称轴x=-1，A（-4，0），
∴C（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），把B（0，4）代入得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-2），即y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4．

（2）如图1中，

∵A（-4，0），B（0，4），
∴直线AB的解析式为y=x+4，
∴线段AB的中垂线的解析式为y=-x，设直线y=-x交抛物线于N，则NA=BN．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$（舍弃），
∴点N坐标（2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$）．

（3）如图2中，设P（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4），

∵S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO-S_△AOB
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²-m+4）+$\frac{1}{2}$×4×（-m）-$\frac{1}{2}$×4×4=-m²-4m=-（m+2）²+4，
∵-1＜0，
∴m=-2时，△PAB面积最大，最大值为4，设P到AB的距离为h，则此时h最大，
∴$\frac{1}{2}$$•\\;AB•h$AB•h=4，
∴h=$\sqrt{2}$．
∴当P（-2，4）设，点P到AB的距离最大，最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题．一次函数的应用、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．