Question

如图，直线y=-

3

4

x+3与两坐标轴相交于点A、B，点P是直线AB上的动点（点P不与点B重合），PC⊥X轴，PE⊥OP，PE交矩形PCBD的边BD所在的直线于点E．
（1）求证：△POC∽△PED；
（2）设OP=x，OP+PE=y
①求y与x之间的函数关系；
②求y的最小值．

Answer 1

分析：（1）先证出∠OPC=∠EPD，再根据∠OCP=∠EDP即可证出△POC∽△PED，
（2）①先求出A、B点的坐标得出AO=3，BO=4，再证明△PBC∽△ABO得出

PC

BC

=

AO

BO

=

3

4

，然后由△POC∽△PED得出

PO

PE

=

PC

PD

=

PC

BC

=

3

4

，即  

x

y-x

=

3

4

，从而可以求出y与x之间的函数关系，
②因为y随x的减小而减小，OP⊥AB时，y最小，求出OP的长即可得出y的最小值．

解答：（1）证明：∵∠OPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=90°，
∴∠OPC=∠EPD，
∵∠OCP=∠EDP=90°，
∴△POC∽△PED；

（2）解：①∵直线y=-

3

4

x+3与两坐标轴相交于点A、B，
∴A点的坐标是（0，3），B点的坐标是（4，0），
∴AO=3，BO=4，
∵PC∥AO，
∴△PBC∽△ABO，
∴

PC

BC

=

AO

BO

=

3

4

，
∵△POC∽△PED，
∴

PO

PE

=

PC

PD

=

PC

BC

=

3

4

，即  

x

y-x

=

3

4

，
∴y=

7

3

x；

②∵k=

7

3

＞0
∴y随x的减小而减小．
由于“垂线段最短”，
所以OP⊥AB时，y最小，
所以当x=

12

5

时，y的最小值为

28

5

．

点评：此题考查了一次函数的综合应用，解题时要与相似三角形的判定和性质相结合，要注意知识的综合应用．