Question

甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4－k)张，乙每次取6张或(6－k)张(k是常数，0＜k＜4)．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有________张．

Answer 1

答案：108
解析：

解：设甲a次取(4－k)张，乙b次取(6－k)张，则甲(15－a)次取4张，乙(17－b)次取6张， 　　则甲取牌(60－ka)张，乙取牌(102－kb)张 　　则总共取牌：N＝a(4－k)＋4(15－a)＋b(6－k)＋6(17－b)＝－k(a＋b)＋162， 　　从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使(a＋b)尽可能的大， 　　由题意得，a≤15，b≤16， 　　又最终两人所取牌的总张数恰好相等， 　　故k(b－a)＝42，而0＜k＜4，b－a为整数， 　　则由整除的知识，可得k可为1，2，3， 　　①当k＝1时，b－a＝42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去； 　　②当k＝2时，b－a＝21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去； 　　③当k＝3时，b－a＝14，此时可以符合题意， 　　综上可得：要保证a≤15，b≤16，b－a＝14，(a＋b)值最大， 　　则可使b＝16，a＝2；b＝15，a＝1；b＝14，a＝0； 　　当b＝16，a＝2时，a＋b最大，a＋b＝18， 　　继而可确定k＝3，(a＋b)＝18， 　　所以N＝－3×18＋162＝108张． 　　故答案为：108．

提示：

应用类问题．