Question

17．有两个一元二次方程M：ax²+bx+c=0，N：cx²+bx+a=0，其中a×c≠0，a≠c；以下列四个结论中错误的是（　　）

• A． 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
• B． 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
• C． 如果5是方程M的一个根，那么$\frac{1}{5}$是方程N的一个根
• D． 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

Answer 1

分析 利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D

解答 解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b²-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b²-4ac≥0，$\frac{c}{a}$＞0，所以a与c符号相同，$\frac{a}{c}$＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得$\frac{1}{25}$c+$\frac{1}{5}$b+a=0，所以$\frac{1}{5}$是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax²+bx+c=cx²+bx+a，（a-c）x²=a-c，由a≠c，得x²=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．