Question

2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x²万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y₁（万元）、y₂（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据题意直接得出y₁与y₂与x的函数关系式即可；
（2）根据a的取值范围可知y₁随x的增大而增大，可求出y₁的最大值．又因为-0.5＜0，可求出y₂的最大值；
（3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二．当2000-200a＞500以及2000-200a＜500．

解答：解：（1）由题意得：
y₁=（120-a）x（1≤x≤125，x为正整数），
y₂=100x-0.5x²（1≤x≤120，x为正整数）；

（2）①∵40＜a＜100，∴120-a＞0，
即y₁随x的增大而增大，
∴当x=125时，y_1最大值=（120-a）×125=15000-125a（万元）
②y₂=-0.5（x-100）²+5000，
∵a=-0.5＜0，
∴x=100时，y_2最大值=5000（万元）；

（3）∵由15000-125a＞5000，
∴a＜80，
∴当40＜a＜80时，选择方案一；
由15000-125a=5000，得a=80，
∴当a=80时，选择方案一或方案二均可；
由15000-125a＜5000，得a＞80，
∴当80＜a＜100时，选择方案二．

点评：此题属于一次函数和二次函数的综合的应用题，考查数列模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的构建是确定数列模型．