Question

14．观察下列各式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…
（1）求和：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2009×2010}$
（2）请根据以上的各式的变形方式，对下列各题进行探究变形（不要填最终的结果）
①$\frac{1}{2×4}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）；②$\frac{1}{4×6}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）；③$\frac{1}{98×100}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{100}$）；
（2）由你所找到的规律计算：
$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{98×100}$．

Answer 1

分析 （1）根据题中给出的例子进行计算即可；
（2）根据给出的例子进行探究即可；
（3）根据（2）中的结果进行计算．

解答 解：（1）由题意得，原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$
=1-$\frac{1}{2010}$
=$\frac{2009}{2010}$；

（2）①$\frac{1}{2×4}$=$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）；
②$\frac{1}{4×6}$=$\frac{1}{24}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）；
③$\frac{1}{98×100}$=$\frac{1}{9800}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{100}$）．
故答案为：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$），$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$），$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{100}$）；

（3）由（2）可知，原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{100}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{100}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{49}{100}$
=$\frac{49}{200}$．

点评 本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．