Question

关于x的一元二次方程（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0有两个不同的实数根是x_l和x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=-2时，求4x₁²+6x₂的值．

Answer 1

解：（1）根据题意得k-2≠0且△=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）＞0，
解得k＜3且k≠0；
（2）当k=-2时，方程变形为4x²-6x+1=0，则x_l+x₂=，x_l•x₂=，
∵x_l是原方程的解，
∴4x₁²-6x₁+1=0，
∴4x₁²=6x₁-1，
∴4x₁²+6x₂=6x₁-1+6x₂=6（x₁+x₂）-1=6×-1=8．
分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k-2≠0且△=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；
（2）先把k=-2代入原方程得到4x²-6x+1=0，根据根与系数的关系得x_l+x₂=，x_l•x₂=，由于x_l是原方程的解，则4x₁²-6x₁+1=0，即4x₁²=6x₁-1，所以4x₁²+6x₂=6x₁-1+6x₂=6（x₁+x₂）-1，然后利用整体思想计算即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和根与系数的关系．