如图1和2.在△ABC中.AB=13.BC=14.BH=5．探究:如图1.AH⊥BC于点H.则AH=12.AC=15.△ABC的面积S△ABC=84,拓展:如图2.点D在AC上.分别过点A.C作直线BD的垂线.垂足为E.F.设BD=x.AE=m.CF=n(当点D与点A重合时.我们认为S△ABD=0)(1)用含x.m.n的代数式表示S△ADB及S△CBD,与x的函数关系式.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，BH=5．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH=12，AC=15，△ABC的面积S_△ABC=84；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S_△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S_△ADB及S_△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，直接写出这样的x的取值范围．

分析探究：根据勾股定理计算即可；
（1）根据三角形的面积公式计算；
（2）根据△ABC的面积是84，列出关系式，求出（m+n）与x的函数关系式，结合图形求出（m+n）的最大值和最小值；
（3）根据当BD⊥AC时，m+n有最大值解答．

解答解：探究：由勾股定理得，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=12，
AC=$\sqrt{A{H}^{2}+H{C}^{2}}$=15，
△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AH=84，
故答案为：12；15；84；
（1）S_△ADB=$\frac{1}{2}$×BD×AE=$\frac{1}{2}$mx，
S_△CBD=$\frac{1}{2}$×BD×CH=$\frac{1}{2}$nx；
（2）$\frac{1}{2}$mx+$\frac{1}{2}$nx=84，
m+n=$\frac{168}{x}$，
当BD⊥AC时，m+n有最大值15，
当BD值最大时，m+n有最小值．
∴当点D与点C重合时m+n有最小值．
∴m+n的最小值为$\frac{168}{14}$=12；
（3）当BD⊥AC时，
x=BD=$\frac{168}{15}$=11.2，只能确定唯一的点D．

点评本题考查的是三角形的综合运用，掌握三角形的面积公式、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

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