Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连结CG．当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数．

Answer 1

解：（1）连结AD，OD．

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．………………………1分

∵△ABC是等腰三角形，∴BD＝DC．…………………2分

又∵AO＝BO，∴OD∥AC．    ………………………3分

∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．又∵D是⊙O上的点，

∴DF是⊙O的切线．         ………………………5分

（2）∵AB是⊙O的直径，∴BG⊥AC．

∵△ABC是等边三角形，∴BG是AC的垂直平分线．

∴GA＝GC．………………………7分

又∵AG∥BC，∠ACB＝60°，∴∠CAG＝∠ACB＝60°．

∴△ACG是等边三角形．∴∠AGC＝60°．………………………9分