Question

14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从 B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当 点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；并说明四边形PQCB面积能否是△ABC面积的$\frac{3}{5}$？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10-t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，列出比例式=$\frac{10-t}{10}=\frac{2t}{6}$，求解即可；
（2）根据S_{四边形PQCB}=S_△ACB-S_△APQ=$\frac{1}{2}$AC•BC-$\frac{1}{2}$AP•AQ•sinA，即可得出y关于t的函数关系式；根据四边形PQCB面积是△ABC面积的$\frac{3}{5}$，列出方程$\frac{4}{5}$t²-8t+24=$\frac{3}{4}$×24，解方程即可；
（3）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．

解答 解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB=10cm．
∵BP=t，AQ=2t，
∴AP=AB-BP=10-t．
∵PQ∥BC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{10-t}{10}=\frac{2t}{6}$，
解得t=$\frac{30}{13}$；

（2）∵S_{四边形PQCB}=S_△ACB-S_△APQ=$\frac{1}{2}$AC•BC-$\frac{1}{2}$AP•AQ•sinA
∴y=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×（10-t）•2t•$\frac{8}{10}$=24-$\frac{4}{5}$t（10-t）
=$\frac{4}{5}$t²-8t+24，
即y关于t的函数关系式为y=$\frac{4}{5}$t²-8t+24；
∵四边形PQCB面积能是△ABC面积的$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{4}{5}$t²-8t+24=$\frac{3}{5}$×24，
整理，得t²-10t+12=0，
解得t₁=5-$\sqrt{13}$，t₂=5+$\sqrt{13}$（不合题意舍去）．
故四边形PQCB面积能是△ABC面积的$\frac{3}{5}$，此时t的值为5-$\sqrt{13}$；

（3）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①如果AE=AQ，那么10-2t=2t，解得t=$\frac{5}{2}$；
②如果EA=EQ，那么（10-2t）×$\frac{6}{10}$=t，解得t=$\frac{30}{11}$；
③如果QA=QE，那么2t×$\frac{6}{10}$=5-t，解得t=$\frac{25}{11}$．
故当t为$\frac{5}{2}$秒$\frac{30}{11}$秒$\frac{25}{11}$秒时，△AEQ为等腰三角形．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了勾股定理，平行线的判定，四边形的面积，等腰三角形的判定，中心对称的性质，综合性较强，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．