Question

20．如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA=5，DB=4，DC=3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°，得到线段AD′，连接DD′，则tan∠DD′C=（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 首先证明把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，再根据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，进而利用正切的定义即可求出tan∠DD′C的值．

解答 解：∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，
∴△ADD′为等边三角形，
∴DD′=5，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，
∴D′C=DB=4，
∵DC=3，
在△DD′C中，
∵3²+4²=5²，
∴DC²+D′C²=DD′²，
∴△DD′C为直角三角形，
∴∠DCD′=90°，
∴tan∠DD′C=$\frac{DC}{D′C}=\frac{3}{4}$，
故选B．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，证明△DD′C为直角三角形是解题关键．