Question

如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若∠A=60°，AB=2AD=4，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB=CD，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=AB，DF=CD．
∴AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G．
∵AB=2AD=4，
∴AD=2．
在Rt△AGD中，∵∠AGD=90°，∠A=60°，AD=2，
∴AG=AD•ADcos60°=1，DG=AD•sin60=．
∴BG=AB-AG=3．
在Rt△DGB中，∵∠DGB=90°，DG=，BG=3，
∴DB===2．
分析：（1）根据平行四边形的性质和平行四边形的判定方法证明即可；
（2）过点D作DG⊥AB于点G，利用已知条件和锐角三角函数以及勾股定理即可求出BD的长．
点评：本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和特殊角的锐角三角函数、勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度不大．