Question

如图所示，直角梯形的直角顶点是坐标原点，边、分别在轴、轴的正半轴上，，是上一点，，其中点、分别是线段、上的两个动点，且始终保持。
小题1:直接写出点的坐标
小题2:求证：;
小题3:当是等腰三角形时，△AEF关于直线EF的对称图形为，求与五边形OEFBC的重叠部分的面积.

备用图

Answer 1

小题1:解：..……..1分
小题2:证明：由，知，
  
者利用外角证明：∠OEF＝∠OED＋∠DEF＝∠A＋∠EFA，∵∠DEF＝∠A＝45°，.……..3分
小题3:解：分三种情况来计算：
第一种情况：，此时，

  .……..4分
第二种情况：，此时，
.……..5分
第三种情况：，
此时△，△均为等腰三角形，
且可求＜，∴△在五边形内部，
..……..7分
综上：＝，1，.

（1）过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA=4，在Rt△ABM中，已知了∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，由此可求得D点的坐标；
（2）先求出∠OED、∠AFE与∠FEA的等量关系，从而得出；
（3）若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：
①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；
②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；
③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由（2）知：△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．