Question

（2012•河北区三模）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，材料本身面积忽略不计），设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：

（Ⅰ）在图①中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为

4-x

，若矩形框架ABCD的面积为3平方米，则可列方程为

x（4-x）=3

．
（Ⅱ）在图②中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为

4-

4

3

x

，若矩形框架ABCD的面积为S，请写出S与x的函数关系式

S=4x-

4

3

x²

．
（Ⅲ）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，写出矩形框架ABCD的面积S与x的函数关系式

a-nx

3

x

；当x为

a

2n

时，S有最大面积等于

a2

12n

．

Answer 1

分析：（I）由题意可得3AD+3AB=12，从而可得出AD的表达式；根据矩形的面积=长×宽，可得出方程；
（II）由题意可得3AD+4AB=12，从而可得出AD的表达式；根据矩形的面积=长×宽，可得出S与x的函数关系式；
（III）由题意可得3AD+nAB=a，从而可得出AD的表达式，根据矩形的面积=长×宽，可得出S与x的函数关系式，利用配方法可求出S的最大值．

解答：解：（I）AD=

12-3x

3

=4-x，则若矩形框架ABCD的面积为3平方米，则可列方程为：x（4-x）=3；

（II）AD=

12-4x

3

=4-

4

3

x，
S=x×（4-

4

3

x）=4x-

4

3

x²；

（III）AD=

a-nx

3

，
S=AD×AB=

a-nx

3

x=-

n

3

x²+

a

3

x=-

n

3

（x-

a

2n

）²+

a2

12n

，
当x=

a

2n

时，S有最大值，最大面积为

a2

12n

．
故答案为：4-x、x（4-x）=3；4-

4

3

x、S=4x-

4

3

x²；

a-nx

3

x、

a

2n

、

a2

12n

．

点评：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是得出AD的表达式，根据矩形的面记公式得出函数解析式，注意掌握配方法求最值得应用．