Question

（2012•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，AB=10，tanA=

4

3

，点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q，设EP=x，BQ=y．
（1）求y关于x的函数关系式及定义域；
（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求PE的长；
（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．

Answer 1

分析：（1）利用tanA=

BC

AC

，以及AB=10，即可求出BC，AC，再利用△PCQ∽△ABC，利用相似三角形的性质求出y与x的关系式即可；
（2）利用PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，垂足为Q．得出BM=BQ=y，进而求出x即可；
（3）分两种情况：①当∠FEB=∠A时，②当∠FEB=∠ABC时，分别求出即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵tanA=

BC

AC

=

4

3

，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵CE是斜边AB上的中线，
∴CE=BE=

1

2

AB=5，
∴∠PCB=∠ABC，
∵∠PQC=∠ACB=90°，
∴△PCQ∽△ABC，
∴

CQ

PC

=

BC

AB

=

4

5

，
即

8+y

5+x

=

4

5

，
∴y=

4

5

x-4，定义域为x＞5．

（2）过点B作BM⊥PC，垂足为M．
∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，垂足为Q．
∴BM=BQ=y，
∵tanA=

4

3

=

BC

AC

，
设AC=3x，则BC=4x，AB=5x，
∴sin∠MCB=

BM

BC

=

AC

AB

=

3

5

，
∴BM=

3

5

BC=

3

5

×8=

24

5

，
∴

4

5

x-4=

24

5

，
∴x=11，

（3）∵∠Q=∠ACB=90°，∠QBF=∠A，
∴△BQF∽△ABC，
当△BEF和△QBF相似时，
可得△BEF和△ABC也相似．
分两种情况：
①当∠FEB=∠A时，
在Rt△FBE中，∠FBE=90°，BE=5，BF=

5

3

y
∴

5

3

(

4

5

x-4)=

4

3

×5，
解得x=10；  
②当∠FEB=∠ABC时，
在Rt△FBE中，∠FBE=90°，BE=5，BF=

5

3

y
∴

5

3

(

4

5

x-4)=

3

4

×5，
解得x=

125

16

；
综合①②，x=

125

16

或10．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的考查是中考中重点题型，同学们应重点掌握．