Question

如图，两个半圆外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线y=x相切．若半圆O₁的半径为1，则半圆O₂的半径R=________．

Answer 1

3+2
分析：作O₁A⊥直线y=x于A，作O₂B⊥直线y=x于B，O₁C⊥O₂B于C，则O₁C∥直线y=x，所以∠CO₁O₂=∠AOO₁，由于直线y=x平分∠xoy，即∠AOO₁=45°，得到∠CO₁O₂=45°，判断△CO₁O₂为等腰直角三角形，然后根据切线的性质和两圆相切的性质得O₁A=1，O₂B=R，O₁O₂=R+1，再根据等腰直角三角形的性质得到O₁O₂=O₂C，即R+1=（R-1），最后解关于R的方程即可．
解答：解：作O₁A⊥直线y=x于A，作O₂B⊥直线y=x于B，O₁C⊥O₂B于C，如图，
则O₁C∥直线y=x，
∴∠CO₁O₂=∠AOO₁，
∵直线y=x平分∠xoy，
∴∠AOO₁=45°，
∴∠CO₁O₂=45°，
∴△CO₁O₂为等腰直角三角形，
∵⊙O₁和⊙O₂与直线y=x相切，
∴O₁A=1，O₂B=R，
∴BC=1，O₂C=R-1，
而⊙O₁和⊙O₂外切，
∴O₁O₂=R+1，
∴O₁O₂=O₂C，即R+1=（R-1），
∴R=3+2．
故答案为3+2．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和两圆相切的性质以及第一象限的角平分线的解析式；会运用等腰直角三角形的性质进行计算．