Question

1．如图，已知点A （2$\sqrt{3}$，0）、B（2$\sqrt{3}$，2）．将△OAB沿OB折叠后，点A落在点c处，抛物线经过O、A、C三点，其对称轴与OB交于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是抛物线上一点，过点P且平行于y轴的直线交直线OB于点E．求以点C、P、E、D为顶点的四边形是平行四边形的点P有几个？
（3）若Q为线段DB上一点，过点Q作y轴的平行线，交抛物线于点F．问：是否存在这样的点Q，使得四边形CDQF为等腰梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△OAB中利用三角函数的定义求出∠AOB=30°，则利用折叠的性质得∠COB=∠AOB=30°，OC=OA=2$\sqrt{3}$，作CH⊥y轴于H，如图1，易∠COH=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CH=$\frac{1}{2}$OC=$\sqrt{3}$，OH=$\sqrt{3}$CH=3，则C（$\sqrt{3}$，3），然后设交点式y=ax（x-2$\sqrt{3}$），再把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式为y=-x²+2$\sqrt{3}$x；
（2）如图1，先利用待定系数法求出直线OB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，则可确定D（$\sqrt{3}$，1），所以CD=2，利用二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，设P（t，-t²+2$\sqrt{3}$t），则E（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t），根据平行四边形的判定方法得PE=2，即|-t²+2$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t|=2，然后去绝对值解关于t的方程即可确定P点坐标；
（3）如图2，作FM⊥CD于M，QN⊥CD于N，利用二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，设Q（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x），则F（x，-x²+2$\sqrt{3}$x），根据等腰梯形的判定方法，当CM=ND时，四边形CDQF为等腰梯形，即3-（-x²+2$\sqrt{3}$x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，然后解此方程即可得到Q点坐标．

解答 解：（1）∵A （2$\sqrt{3}$，0）、B（2$\sqrt{3}$，2），
∴OA=2$\sqrt{3}$，AB=2，
∴tan∠AOB=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°，
∵△OAB沿OB折叠后，点A落在点c处，
∴∠COB=∠AOB=30°，OC=OA=2$\sqrt{3}$，
作CH⊥y轴于H，如图1，∠COH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$OC=$\sqrt{3}$，OH=$\sqrt{3}$CH=3，
∴C（$\sqrt{3}$，3），
设抛物线解析式为y=ax（x-2$\sqrt{3}$），
把C（$\sqrt{3}$，3）代入的a•$\sqrt{3}$（-$\sqrt{3}$）=3，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x（x-2$\sqrt{3}$），即y=-x²+2$\sqrt{3}$x；
（2）如图1，设直线OB的解析式为y=kx，
把B（2$\sqrt{3}$，2）代入得2$\sqrt{3}$k=2，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线OB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
当x=$\sqrt{3}$时，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=1，则D（$\sqrt{3}$，1），
∴CD=2，
设P（t，-t²+2$\sqrt{3}$t），则E（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t），
∴PE=|-t²+2$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t|=|t²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t|，
∵点C、P、E、D为顶点的四边形为平行四边形，
而PE∥CD，
∴PE=2，即|t²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t|=2，
当t²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t=2时，解得t₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，t₂=$\sqrt{3}$（舍去），此时P点坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{8}{3}$）；
当t²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t=-2时，解得t₁=2$\sqrt{3}$，t₂=-$\sqrt{3}$，此时P点坐标为（2$\sqrt{3}$，0）或（-$\sqrt{3}$，-3），
综上所述，以点C、P、E、D为顶点的四边形是平行四边形的点P有3个，它们是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{8}{3}$），（2$\sqrt{3}$，0），（-$\sqrt{3}$，-3）；
（3）存在．
如图2，作FM⊥CD于M，QN⊥CD于N，
设Q（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x），则F（x，-x²+2$\sqrt{3}$x），
∵FQ∥CD，
∴当CM=ND时，四边形CDQF为等腰梯形，
即3-（-x²+2$\sqrt{3}$x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
整理得x²-$\frac{7\sqrt{3}}{3}$x+4=0，解得x₁=$\sqrt{3}$（舍去），x₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
此时Q点坐标为（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和折叠的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；熟悉平行四边形的性质和等腰梯形的判定方法；会解一元二次方程；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．