Question

请阅读某同学解下面分式方程的具体过程．
解方程

1

x-4

+

4

x-1

=

2

x-3

+

3

x-2

．
解：

1

x-4

-

3

x-2

=

2

x-3

-

4

x-1

，①

-2x+10

x2-6x+8

=

-2x+10

x2-4x+3

，②

1

x2-6x+8

=

1

x2-4x+3

，③
∴x²-6x+8=x²-4x+3．④
∴x=

5

2

．
把x=

5

2

代入原方程检验知x=

5

2

是原方程的解．
上述解答正确吗？如果正确，写出每一步的根据；如果不正确，从哪一步开始出现错误？错误的原因是什么？并给出正确解答．

Answer 1

分析：解答错误，在第②步两边都除以（-2x+10）时，不能保证-2x+10≠0，根据解分式方程的方法求解即可．

解答：解：

1

x-4

-

3

x-2

=

2

x-3

-

4

x-1

，①

-2x+10

x2-6x+8

=

-2x+10

x2-4x+3

，②
（-2x+10）（x²-4x+3-x²+6x-8）=0，
即（-2x+10）（2x-5）=0，③
∴-2x+10=0，2x-5=0，④
解得x₁=5，x₂=

5

2

，
检验：当x₁=5时，（x-4）（x-2）（x-3）（x-1）=（5-4）（5-2）（5-3）（5-1）≠0，
当x₂=

5

2

时，（x-4）（x-2）（x-3）（x-1）=（

5

2

-4）（

5

2

-2）（

5

2

-3）（

5

2

-1）≠0，
所以x₁=5，x₂=

5

2

都是原方程的解，
因此，原分式方程的解是x₁=5，x₂=

5

2

．

点评：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根，本题出错原因在于方程两边都除以的数应该是不为0的数．