Question

2．如图，已知点A（1，$\sqrt{3}$）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，连接OA，将线段OA绕点O沿顺时针方向旋转30°，得到线段OB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）填空：
①点B的坐标是（1，$\sqrt{3}$）；
②判断点B是否在反比例函数的图象上？答点B在反比例函数的图象上；
③设直线AB的解析式为y=ax+b，则不等式ax+b-$\frac{k}{x}$＜0的解集是0＜x＜1或x＞$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，可求得其解析式；
（2）①由A点坐标可求得OA，由旋转性质可求得OB，由A点坐标可求得OA与x轴的夹角，则可求得OB与x轴的夹角，可求得B点坐标；②把B点坐标代入反比例函数解析式进行判断即可；③结合图象可知不等式的解集即为直线AB在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，可求得答案．

解答 解：
（1）∵点A（1，$\sqrt{3}$）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{k}{1}$，解得k=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）；
（2）①如图，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，

∵A（1，$\sqrt{3}$），
∴OC=1，AC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}$=$\sqrt{3}$，OA=2，
∴∠AOC=60°，
∵将线段OA绕点O沿顺时针方向旋转30°，得到线段OB，
∴OB=2，∠BOD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$OB=1，OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
∴B（1，$\sqrt{3}$），
故答案为：（1，$\sqrt{3}$）；
②∵$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴点B在反比例函数的图象上，
故答案为：点B在反比例函数的图象上；
③∵ax+b-$\frac{k}{x}$＜0可化为ax+b＜$\frac{k}{x}$，
∴不等式的解集为直线AB在反比例函数图象的下方，
∴0＜x＜1或x＞$\sqrt{3}$，
故答案为：0＜x＜1或x＞$\sqrt{3}$．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、旋转的性质、三角函数的定义及数形结合思想．在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，在（2）中求得B点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．