Question

【题目】如图，菱形ABCD中，AB＝6cm，∠ADC＝60°，点E从点D出发，以1cm/s的速度沿射线DA运动，同时点F从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB运动，连接CE、CF和EF，设运动时间为t（s）．

（1）当t＝3s时，连接AC与EF交于点G，如图①所示，则EF＝　 　cm；

（2）当E、F分别在线段AD和AB上时，如图②所示，

①求证：△CEF是等边三角形；

②连接BD交CE于点G，若BG＝BC，求EF的长和此时的t值．

（3）当E、F分别运动到DA和AB的延长线上时，如图③所示，若EF＝3cm，直接写出此时t的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①见解析；②EF＝（9）cm，t＝6﹣6（3）

【解析】

（1）由条件可知△ADC，△ABC都是等边三角形，证明CE＝CF，AE＝AF，可得出AC垂直平分线段EF，由30°直角三角形的性质即可解决问题；

（2）①只要证明△DCE≌△ACF，得出CE＝CF，∠DCE＝∠ACF，可得出∠ECF＝60°，则结论得证；

②连接AC，交BD 于点O，过点E作EN⊥CD，垂足为N，由BD＝2BO求出BD长，证明DE＝DG，可求出DE长，则t的值可求出，在Rt△DEN中，由EN＝DEsin60°，可求出EN＝9﹣3，在Rt△ECN中可得∠ECN＝45°，求出CE的长，则CE＝EF可求出；

（3）作CH⊥AB于H．先求出BH＝3，CH＝3，在Rt△CFH中，由勾股定理HF＝可求出，则BF和AF可求出．

（1）解：如图①中，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

∴DA＝DC＝AB＝BC，

∴△ADC，△ABC都是等边三角形，

当t＝3时，AE＝DE＝3cm，AF＝BF＝3cm，

∵CA＝CD＝CB，

∴CE⊥AD，CF⊥AB，

∵∠CAB＝∠CAD，

∴CF＝CE，

∵AE＝AF，

∴AC垂直平分线段EF，

∴∠AGF＝90°，

∵∠FAG＝60°，

∴∠AFG＝30°，

∴AG＝AF＝cm，

∴cm，

∴EF=cm；

故答案为：．

（2）①证明：由（1）知△ADC，△ABC都是等边三角形，

∴∠D＝∠ACD＝∠CAF＝0°，DC＝AC，

∵DE＝AF，

∴△DCE≌△ACF（SAS），

∴CE＝CF，∠DCE＝∠ACF，

∴∠ECF＝∠ACD＝60°，

∴△ECF是等边三角形．

②如图②中，连接AC，交BD 于点O，过点E作EN⊥CD，垂足为N，

∵，BC＝6cm，

∴BO＝BCsin60°＝6×cm，

∴cm，

∴cm，

∵BG＝BC，

∴∠BGC＝∠BCG＝75°，

∵∠BGC＝∠DGE，

∴∠BCG＝∠DGE，

∵AD∥BC，

∴∠DEG＝∠BCG，

∴∠DEG＝∠DGE，

∴DG＝DE＝cm，

∵∠BCD＝120°，

∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCG＝120°﹣75°＝45°，

∴EN＝DEsin60°＝cm，

∴cm，

∴EF＝CE＝（9）cm，t＝（6﹣6）s．

（3）解：如图③，作CH⊥AB于H，

由（2）可知：△EFC是等边三角形，

∴CF＝EF＝3cm，

在Rt△BCH中，∵BC＝6，∠CBH＝60°，

∴BH＝3，CH＝cm，

在Rt△CFH中，HF＝cm，

∴cm，AF＝（3+）cm，

∵运动速度为1cm/s，

∴s．