Question

20．某村想在村口建一个如图形状的牌门，已知弧$\widehat{AB}$是所在圆的三分之一圆，立柱AC高2m，若要使高3m，宽2m的集装箱货车能通过，问AB的半径应大于多少m？

Answer 1

分析 设货车顶部为MN，要使货车刚好能通过，则M、N在AB弧上，且MN∥AB，MN=2m，MN离地面高度为3m，设圆心为点O，圆的半径为x，连接OA、OM，作OF垂直AB，交圆于F，交AB于E，交MN于G，根据勾股定理得到OM²=OG²+MG²，即可求出AB的半径．

解答 解：设货车顶部为MN，要使货车刚好能通过，
则M、N在AB弧上，且MN∥AB，MN=2m，MN离地面高度为3m，
设圆心为点O，圆的半径为x，连接OA、OM，作OF垂直AB，交圆于F，交AB于E，交MN于G，
则OF⊥MN，GE=3-2=1（m），
根据垂径定理知：MG=NG=1m，
$\widehat{AF}$=$\widehat{BF}$，
∵弧$\widehat{AB}$是所在圆的三分之一圆，
∴弧AF的度数=60°，
∴∠AOF=60°，∠OAE=30°，
∴OE=$\frac{OA}{2}$=$\frac{x}{2}$，
在直角三角形OMG中，根据勾股定理得：
OM²=OG²+MG²，
所以x²=1+（$\frac{x}{2}$+1）²，
整理得：3x²-4x-8=0，
解得：x=$\frac{2±2\sqrt{7}}{3}$，
舍去负值得半径为$\frac{2+2\sqrt{7}}{3}$（m），
则弧AB的半径应大于$\frac{2+2\sqrt{7}}{3}$m

点评 本题考查了垂径定理的应用，与勾股定理相结合是解题的关键，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．