Question

在等边△ABC边BC上取一点D，使BD：DC=1：2，作CH⊥AD于H，连接BH，求证：∠DBH=∠DAB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：首先作AE⊥DC于E，然后证得△DAE∽△DCH，又由三线合一的性质求得DE的长，即可得DH×DA=DE×DC=BD²，则可证得：△BDH∽△ADB，则问题得解．

解答：解：作AE⊥DC于E，
∵CH⊥AD，
∴∠DHC=∠AED=90°，
∵∠ADE=∠CDH，
∴△DAE∽△DCH，
∵等边△ABC中，BD：DC=1：2设BD=x，CD=2x，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

×（2x+x）=1.5x，
∴DE=BE-BD=0.5x，
∵

DH

DE

=

DC

DA

，
∴DH×DA=DE×DC=0.5x×2x=x²=BD²，
∴

BD

DA

=

DH

BD

，
∵∠BDH=∠ADB，
∴△BDH∽△ADB，
∴∠DBH=∠DAB．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，利用已知得出△BDH∽△ADB以及注意数形结合思想的应用是解题的关键．